Хлястик у них вечно оборван, пуговиц не хватает…

Самого (дня) — прил., н.ф. самый, вопрос: какого?, качественное, превосходная степень, употреблено в полной форме ед числа, мужского рода, родительного падежа. В предложении выполняет роль определения.