Синтаксический разбор словосочетания жил в лесу

Жил в лесу. — управление, т.к. главное слово жил может меняться, а в лесу — не меняется. Жил (где?) лесу. Жил — сказуемое (подчеркиваешь двумя линиями), в лесу — обстоятельство (пунктир с точкой).