Докажите, являются ли однокоренными слова: луковка, лучник

Нет. Слово луковка образовано от существительного лук (растение); лучник– от лук (оружие); излучина – от слова лука (дугообразный поворот реки), Таким образом, это слова с омонимичными корнями.